Taulukkokirja: Algebra ja aritmetiikka

Aksioomat eli peruslauseet

Laskut reaaliluvuilla perustuvat seuraaviin aksioomiin:

Yhteenlaskuominaisuudet	Kertolaskuominaisuudet
Vaihdantalaki $(kaava)$ Liitäntälaki $(kaava)$ Luku 0: $(kaava)$ Vastaluku: $(kaava)$	Vaihdantalaki: $(kaava)$ Liitäntälaki: $(kaava)$ Käänteisluku: $(kaava)$ Osittelulaki $(kaava)$
Järjestysominaisuudet
$(kaava)$ tai $(kaava)$ tai $(kaava)$	Jos $(kaava)$ ja $(kaava)$ , niin $(kaava)$ .
$(kaava)$	Jos $(kaava)$ ja $(kaava)$ , niin $(kaava)$ .

Täydellisyysaksiooma

Jokaisella rajoitetulla joukolla on supremum (pienin yläraja) ja infimum (suurin alaraja).

Rationaaliluvut

$(kaava)$	yhteenlasku ja vähentäminen: lavennetaan samannimisiksi
$(kaava)$	kertolasku: kerrotaan osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään
$(kaava)$	jakolasku: kerrotaan jakajan käänteisluvulla
$(kaava)$	supistaminen
$(kaava)$	laventaminen

Prosenttilaskenta

Prosentin määritelmä: $(kaava)$
Promillen määritelmä: $(kaava)$

Prosenttiyksikkö kuvaa prosenttiosuuksissa tapahtuvia muutoksia. Jos esimerkiksi 8 % laskee 4 %:iin, on lasku neljä %-yksikköä ja 50 %.

Itseisarvo

Määritelmä: $(kaava)$

Graafinen tulkinta: itseisarvo kuvaa luvun etäisyyttä nollasta lukusuoralla.

Ominaisuuksia: $(kaava)$ , $(kaava)$ .

Potenssi

Siinä missä kertolasku tarkoittaa saman termin toistuvaa yhteenlaskua, potenssiin korottaminen tarkoittaa saman termin toistuvaa kertomista: $(kaava)$ .

Potenssien laskusäännöt

$(kaava)$	$(kaava)$	$(kaava)$
$(kaava)$	$(kaava)$	$(kaava)$
$(kaava)$	$(kaava)$ ei määritelty

Juuri

Juurilausekemuoto $(kaava)$ : $(kaava)$ on juuren indeksi ja $(kaava)$ juurrettava. Neliöjuuri on juuri, jonka indeksi on 2. Kuutiojuuri on juuri, jonka indeksi on 3.

$(kaava)$

Juurien laskusäännöt

Juuret ovat murtopotensseja: $(kaava)$ . Tämän myötä niille pätevät potenssien laskusäännöt, joita voidaan juurimuodossa havainnollistaa seuraavilla kaavoilla. Indeksit ovat kaavoissa positiivisia kokonaislukuja ja juurrettavat $(kaava)$ ( $(kaava)$ jakajana lisäksi $(kaava)$ ).

$(kaava)$	$(kaava)$	$(kaava)$
$(kaava)$	$(kaava)$	$(kaava)$

Logaritmi

Logaritmin määritelmä: $(kaava)$ , jossa $(kaava)$ on kantaluku ( $(kaava)$ ) ja $(kaava)$ on numerus ( $(kaava)$ ).

Logaritmien laskusäännöt

$(kaava)$	$(kaava)$	$(kaava)$
$(kaava)$	$(kaava)$	$(kaava)$
$(kaava)$	$(kaava)$

Muistikaavat ja polynomin jakaminen tekijöihin

Yhteinen tekijä, ryhmittely, binomin neliö, trinomin neliö

Yhteinen tekijä: $(kaava)$
Ryhmittely: $(kaava)$
Binomin neliö: $(kaava)$ ja $(kaava)$
Trinomin neliö: $(kaava)$

Samankorkuisten potenssien erotus

Neliöiden erotus: $(kaava)$
Kuutioiden erotus: $(kaava)$
Samankorkuisten potenssien erotus yleisesti: $(kaava)$

Samankorkuisten potenssien summa

Neliöiden summa $(kaava)$ on jaoton.
Kuutioiden summa $(kaava)$
Samankorkuisten potenssien summa yleisesti: Jos $(kaava)$ on pariton, niin $(kaava)$ . Jos $(kaava)$ on parillinen, niin lauseke on jaoton.

Tekijöihin jako nollakohtien avulla

Toinen aste: $(kaava)$
Yleisesti: $(kaava)$

Newtonin binomikaava

Newtonin binomikaava: $(kaava)$

Toisen asteen yhtälö

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kaikki toisen yhtälöt voi ratkaista ratkaisukaavalla $(kaava)$ , jossa muuttujat $(kaava)$ , $(kaava)$ ja $(kaava)$ otetaan normaalimuotoon $(kaava)$ muokatusta yhtälöstä. Kaavan alkuosa, $(kaava)$ , on paraabelin huipun x-koordinaatti. Neliöjuuren sisällä olevasta diskriminantista $(kaava)$ on nähtävissä yhtälön juurien määrä:

Diskriminantti	Ratkaisut eli juuret
$(kaava)$	Ei reaalisia ratkaisuja. Imaginaariset juuret ovat muotoa $(kaava)$ .
$(kaava)$	Kaksoisjuuri (paraabelin huippu, $(kaava)$ ).
$(kaava)$	Kaksi erillistä reaalijuurta.

Juurien summa ja tulo

Normaalimuodossa esitetylle toisen asteen yhtälölle, jonka juuret ovat $(kaava)$ ja $(kaava)$ , pätee $(kaava)$ ja $(kaava)$ .

Korkeamman asteen yhtälö

Korkeamman asteen yhtälön jakaminen tekijöihin

Korkeamman asteen yhtälön normaalimuoto $(kaava)$ ( $(kaava)$ ja $(kaava)$ ) voidaan jakaa tekijöihin muotoon $(kaava)$ .

Korkeamman asteen yhtälön juurten ominaisuuksia

Korkeamman asteen yhtälöllä on $(kaava)$ juurta $(kaava)$ , kun mukaan lasketaan myös keskenään yhtäsuuret ja imaginaariset ratkaisut. Erillisiä juuria on siis korkeintaan $(kaava)$ kappaletta.

Jos kokonaislukukertoimisella yhtälöllä on rationaalimuotoisia juuria, niin juurien osoittajat ovat $(kaava)$ :n tekijöitä ja nimittäjät $(kaava)$ :n tekijöitä.

Determinantti

Kaksirivinen determinantti

$(kaava)$

Kolmirivinen determinantti

$(kaava)$

Yhtälöparin ratkaisu determinanteilla

Yhtälöparin normaalimuodosta $(kaava)$ saadaan determinantit
$(kaava)$ , $(kaava)$ ja $(kaava)$ .

Jos kerroindeterminantti $(kaava)$ , niin yhtälöparilla on yksikäsitteinen ratkaisu $(kaava)$ .

Kompleksiluvut

Määritelmä ja nimityksiä

$(kaava)$

Kompleksilukua $(kaava)$ vastaa kompleksitason piste (a,b).
Identtiset kompleksiluvut: $(kaava)$

$(kaava)$ on imaginaarinen, jos $(kaava)$ . $(kaava)$ on puhtaasti imaginaarinen, jos $(kaava)$ ja $(kaava)$ . $(kaava)$ on reaaliluku, jos $(kaava)$ .

Kompleksiluvulle $(kaava)$ :

itseisarvo eli moduli $(kaava)$	liittoluku eli konjugaatti $(kaava)$
käänteisluku $(kaava)$	vastaluku $(kaava)$

Kompleksiluvut napakoordinaatistossa

Kompleksiluvut voidaan esittää napakoordinaatistossa muodossa $(kaava)$ .

Itseisarvo $(kaava)$

Vaihekulma eli argumentti $(kaava)$ (paikkavektorin ja positiivisen reaaliakselin välinen kulma) sijoitetaan tavallisesti välille $(kaava)$ , mutta se voidaan merkitä myös aina positiiviseksi välille $(kaava)$ . Sille pätee $(kaava)$ .